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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 11

Ache o centro, vértices, focos, extremidade do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos.

5 x 2 + 3 y 2 - 3 y - 1 2 = 0

Passo 1

A questão pede para encontrar as principais características da elipse 5 x 2 + 3 y 2 - 3 y - 12 = 0   . Note que agora temos termos de primeiro grau na equação. Desta forma, o vértice não estará na origem!

Como não temos termo de primeiro grau em x , basta completar quadrado para y :

3 y 2 - 3 y = 3 y 2 - y = 3 y 2 - y + 1 4 - 1 4 = 3 y - 1 2 2 - 3 4

Assim, a equação da elipse ficará

5 x 2 + 3 y - 1 2 2 - 3 4 - 12 = 0

Portanto,

5 x 2 + 3 y - 1 2 2 = 51 4

Dividindo a equação por 51 / 4 :

20 x 2 51 + 12 y - 1 2 2 51 = 1

Assim,

x 2 51 20 2 + y - 1 2 2 51 12 2 = 1

Desta forma, vemos que o centro da elipse é

0 , 1 2

Além disso, como 51 12 > 51 20 , temos que o eixo maior dessa elipse é paralelo ao eixo y . Além disso,

a = 51 12           e             b = 51 20

Para achar os vértices, basta somar e subtrair a na coordenada y do centro:

0 , 1 2 - 51 12             e             0 , 1 2 + 51 12

Já para as extremidades do eixo menor, somamos e subtraímos b na coordenada x :

- 51 20 , 1 2         e         51 20 , 1 2

Passo 2

Para acharmos os focos, temos que

a 2 = b 2 + c 2

Assim,

51 12 = 51 20 + c 2 ⇒ c 2 = 51 1 12 - 1 20 = 51 30 ⇒ c = 51 30

Para termos os focos, basta somar e subtrair 5 na coordenada y do centro:

0 , 1 2 - 51 30         e         0 , 1 2 + 51 30

Passo 3

Um esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

Centro: 0 , 1 2

Vértices: 0 , 1 2 - 51 12             e             0 , 1 2 + 51 12

Extremidades do eixo menor: - 51 20 , 1 2         e         51 20 , 1 2

Focos: 0 , 1 2 - 51 30         e         0 , 1 2 + 51 30

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