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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 9

Ache o centro, vértices, focos, extremidade do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos.

6 x 2 + 9 y 2 - 24 x - 54 y + 51 = 0

Passo 1

A questão pede para encontrar as principais características da elipse 6 x 2 + 9 y 2 - 24 x - 54 y + 51 = 0   . Note que agora temos termos de primeiro grau na equação. Desta forma, o vértice não estará na origem!

Precisamos completar quadrados. Para os termos com x :

6 x 2 - 24 x = 6 x 2 - 4 x = 6 x 2 - 4 x + 4 - 4 = 6 x - 2 2 - 24

Para os termos com y :

9 y 2 - 54 y = 9 y 2 - 6 y = 9 y 2 - 6 y + 9 - 9 = 9 y - 3 2 - 81

Assim, a equação da elipse ficará

6 x - 2 2 - 24 + 9 y - 3 2 - 81 + 51 = 0

Portanto,

6 x - 2 2 + 9 y - 3 2 = 54

Dividindo a equação por 54 :

6 x - 2 2 54 + 9 y - 3 2 54 = 1

Assim,

x - 2 2 9 + y - 3 2 6 = 1 ⇒ x - 2 2 3 2 + y - 3 2 6 2 = 1

Desta forma, vemos que o centro da elipse é

( 2 ,   3 )

Além disso, como 3 > 6 , o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo x , com

a = 3           e             b = 6

Para achar os vértices, basta somar e subtrair 3 na coordenada x do centro:

- 1 ,   3             e             5 ,   3

Já para as extremidades do eixo menor, somamos e subtraímos 6 na coordenada y :

2 ,   3 - 6         e         ( 2 ,   3 + 6 )

Passo 2

Para acharmos os focos, temos que

a 2 = b 2 + c 2

Assim,

9 = 6 + c 2 ⇒ c 2 = 3 ⇒ c = 3

Para termos os focos, basta somar e subtrair 3 na coordenada x do centro:

2 - 3 ,   3         e         ( 2 + 3 ,   3 )

Passo 3

Um esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

Centro: ( 2 ,   3 )

Vértices: - 1 ,   3     e       ( 5 ,   3 )

Extremidades do eixo menor: 2 ,   3 - 6       e         2 ,   3 - 6

Focos: 2 - 3 ,   3       e       2 + 3 , 3

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