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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Elipse - Ex. 2

Esboçar o gráfico e determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas.

25 x 2 + 4 y 2 = 100

Passo 1

Faaaala aí! tudo joia?

Pra começar a gente vai deixar essa equação daquela forma bonitinha:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1   o u   x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

(Lembrando que o eixo maior é sempre representado por a ...)

Pra isso a gente tem que dividir a expressão por 100 , certo? Bora então!

25 100 x 2 + 4 100 y 2 = 1

x 2 4 + y 2 25 = 1

Prontinho! Agora aqui a gente analisa os termos...

Passo 2

Daqui a gente vê que o centro é em ( 0,0 ) , o eixo maior é paralelo ao eixo y , e é:

a 2 = 25 → a = 5

E o eixo menor é:

b 2 = 4 → b = 2

Usando a relação:

a 2 = b 2 + c 2

A gente vai achar c :

5 2 = 2 2 + c 2

c 2 = 25 - 4

c 2 = 21

c = 21

Pra achar os vértices é só a gente andar a unidades em y ...

Passo 3

Então vamos lá... os vértices são:

A 1 0 , - 5   e     A 2 ( 0,5 )

Os focos a gente anda c unidades a partir do centro:

F 1 = 0 ,   - 21   e   F 2 ( 0 ,   21 )

E a excentricidade é só fazer:

e = c a

e = 21 5

Show! Agora com essas informações, a gente vai montar o gráfico😉

Passo 4

Prontinho😉

Resposta

Vértices: A 1 0 , - 5   e     A 2 ( 0,5 )

Focos:

F 1 = 0 ,   - 21   e   F 2 ( 0 ,   21 )

Excentricidade:

e = 21 5

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Em cada um dos problemas 23 a 28, determinar o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico 4 x 2 + 9 y 2 - 24 x + 18 y + 9 = 0
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