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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 41

Calcule a integral definida

(d)/(d x) int_(- x)^x (1)/(3 + t ²) d t

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() a x^n = (x)/(a ( n + 1 ))^(n + 1) , a = c o n s t a n t e

(d)/(d x) int_a^(f ( x )) h (t) d t = h (f ( x )) . (d)/(d x) (f (x) - a)

Passo 2

Essa aqui já precisamos tomar cuidado, ela é pegadinha. Então vamos com calma.

Lembra que podemos separar o intervalo de integração em quantas partes quisermos?

Então o intervalo [x , -x ] vou fazer [x, 0 ] e [0 , -x]

(d)/(d x) int_(- x)^x (1)/(3 + t^2) d t

= (d)/(d x) int_(- x)^0 (1)/(3 + t^2) d t + (d)/(d x) int_0^x (1)/(3 + t^2) d t

Vamos lembrar que essa é uma função par. Então

(d)/(d x) int_(- x)^0 (1)/(3 + t^2) d t = (d)/(d x) int_0^x (1)/(3 + t^2) d t

Então podemos fazer apenas uma integral e multiplicar por 2.

= 2 (d)/(d x) int_0^x (1)/(3 + t^2) d t = 2 . (1)/(3 + x^2) . (d)/(d x) (x - 0)

= (2)/(3 + x^2)

Resposta

(d)/(d x) int_(- x)^x (1)/(3 + t ²) d t = (2)/(3 + x^2)

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