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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 55

Ache o comprimento do arco da curva y = ln c o s s e c x d e x = (pi)/(6) a x = (pi)/(2) .

Passo 1

Vejamos que, para encontrar o comprimento do arco, usaremos que:

d r = sqrt((d y)^2 + (d x)^2) = d x sqrt(((d y)/(d x))^2 + 1)

Passo 2

Pela regra da cadeia, teremos que:

[f (g (x))]^' = f^' (g (x)) . g^' (x)

Logo:

(d y)/(d x) = (1)/(c o s s e c x) . - c o s s e c x c t g x = - c t g x

Passo 3

Substituindo em d r , teremos que:

d r = sqrt((- c t g x)^2 + 1) d x

Como c t g^2 x + 1 = c o s s e c^2 x , temos que:

d r = c o s s e c x d x

Passo 4

Então, entre x = (1)/(6) pi a x = (1)/(2) pi , temos que:

int d r = int_((1)/(6) pi)^((1)/(2) pi) c o s s e c x d x = [- ln |c o s s e c x|] ((1)/(2) pi)/((1)/(6) pi) = [- ln (c o s s e c ((pi)/(2))) + ln (c o s s e c ((pi)/(6)))] =

[- ln (1) + l (2)] = ln (2) = 0,693

Resposta

O valor do comprimento do arco é 0,693 u.c.

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