Ache o comprimento do arco da curva y = ln cosssec x d e x = pi / 6 a x = pi / 2 .

Passo 1

Vejamos que, para encontrar o comprimento do arco, usaremos que:

d r = d y 2 + d x 2 = d x d y d x 2 + 1

Passo 2

Pela regra da cadeia, teremos que:

f g x ' = f ' g x . g ' x

Logo:

d y d x = 1 c o s s e c   x . - c o s s e c   x   c t g x = - c t g   x

Passo 3

Substituindo em d r , teremos que:

d r = - c t g   x 2 + 1   d x

Como c t g 2 x + 1 = c o s s e c 2 x , temos que:

d r = c o s s e c   x   d x

Passo 4

Então, entre x = 1 6 π   a   x = 1 2 π , temos que:

∫ d r = ∫ 1 6 π 1 2 π c o s s e c   x   d x = - ln ⁡ c o s s e c   x 1 2 π 1 6 π = - ln ⁡ c o s s e c π 2 + ln ⁡ c o s s e c π 6 =

- ln ⁡ 1 + l 2 = ln ⁡ 2 = 0,693

Resposta

O valor do comprimento do arco é 0,693 u.c.

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