Nos Exercícios de 11 a 28, ache (f^(-1))'(d)

26. f(x) = 2x^3 + x + 20; d = 2

Passo 1

Para achar ( f - 1 ) ' ( d ) da função dada podemos fazer uso do teorema 7.2.4 do capítulo 7, seção 2 do livro que diz:

Seja f uma função monótona e continua no intervalo fechado [a, b], contendo o número c e seja f c = d . Se f ' ( c ) existir e f ' ( c ) ≠ 0 , então ( f - 1 ) ' ( d ) existirá e

f - 1 ' d = 1 f ' c

Passo 2

Agora vamos as contas, temos que saber quem é o c em nossa situação, mas para isso temos:

f c = d

⇒ 2 c 3 + c + 20 = 2 ⇒ 2 c 3 + c + 18 = 0

⇒ ( c + 2 ) ( 2 c 2 - 4 c + 9 ) = 0

A equação admite solução real quando c é:

c = - 2

Passo 3

Agora vamos calcular f ' ( c ) , com o que obtemos no passo 2 e depois aplicar a fórmula do teorema.

f x = 2 x 3 + x + 20

f ' x = 6 x 2 + 1

Assim:

f ' - 2 = 6 - 2 2 + 1

                          = - 6 4 + 1

                          = - 24 + 1 = - 23

Agora usando na fórmula do teorema:

f - 1 ' d = 1 f ' c

Temos:

f - 1 ' 2 = 1 - 6 4 + 1

                                        = - 1 23

Resposta

f - 1 ' 2 = - 1 23

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