Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 22
Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada:
em torno de
Passo 1
Eaeee, belezinha? Bom.. a questão quer que calculemos o volume de (em azul) em torno de (linha vermelha):
Para isso, temos que saber a relação entre volume e área!!
Bom... o volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:
Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região , que é um segmento de reta indo do ponto ao ponto .
Passo 2
Antes de tudo, vamos encontrar essa função.
Vamos recordar lá da matemática básica a forma que escrevemos uma reta.
Ela pode ser dada como
Já que temos dois pontos, podemos definir facilmente uma reta, não é?
Vamos substituir cada ponto de uma vez. Primeiro o ponto
Sabemos o valor do termo independente da equação!
Precisamos encontrar o coeficiente angular agora.
Vamos substituir o segundo ponto:
Assim, temos que a equação da reta é !
Voltando para a questão, esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação.
No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno da reta .
Assim, a área do disco é igual a:
Passo 3
Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração. Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Logo,
Passo 4
Agora é tranquilo, pessoal!
Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1.
Nossos limites de integração aqui serão e pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho.
Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo: