Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 24

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: em torno de

Passo 1

O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:

Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região , que é delimitada pela função

Esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação. No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno da reta . Assim, a área do disco é igual a:

Passo 2

Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração. Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Logo,

Passo 3

Agora é tranquilo, pessoal! Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1. Nossos limites de integração aqui serão e pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho. Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo:

Resposta

O resultado final é:

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região à direita do eixo y , limitada pela curva y = x 9 - x 2 4 e pelo eixo x , em torno do eixo x .

Ache o centro de massa de uma barra com 8cm se a densidade linear num ponto a xcm do extremo esquerdo é ρ x g/cm onde ρ x = x 2 + 36 .

A densidade linear de uma barra num ponto a xm de um extremo é 9 + x 2kg/m . Ache a massa e o centro de massa da barra, sabendo que ela tem 3m .

37. Um paraboloide de revolução é obtido fazendo girar a parábola y 2 = 4 p x em torno do eixo x. Ache o volume limitado por um paraboloide de revolução e um plano perpendicular a seu eixo, se o plano

39. A Região limitada pela curva y = c o s e c x e pelas retas y = 2,x = π 6 ,x = 5 6 π é girada em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.