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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 33

Nos exercícios de 29 a 34, faça o seguinte: ( a ) resolva a equação para y em termos de x e expresse y como uma ou mais função de x ; ( b )   para cada função obtida em ( a ) determine se a função tem inversa e se tiver, determine o domínio da função inversa; ( c )   use a derivação implícita para encontrar d y d x e d x d y e determine os valores de x e y para os quais d y d x e d x d y são recíprocos.

33 )   2 x 2 - 3 x y + 1 = 0

Passo 1

( a ) Resolvendo a equação para y teremos:

3 x y = 2 x 2 + 1

y = 2 x 2 + 1 3 x

Passo 2

( b ) Vamos analisar a função para vermos se há ou não uma inversa. Lembrado que para existir inversa a função precisa ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, bijetora!

Para saber se f é injetora tentaremos provar que para f x 1 =   f ( x 2 ) implica em x 1 = x 2 . Agora vamos aplicar esta ideia:

Supondo que exista   x 1 ≠ x 2 tal que y x 1 = y ( x 2 ) , então:

2 x 1 2 + 1 3 x 1 = 2 x 2 2 + 1 3 x 2

Multiplicando cruzado:

x 2 2 x 1 2 + 1 = x 1 2 x 2 2 + 1

2 x 1 2 x 2 + x 2 = 2 x 1 x 2 2 + x 1

2 x 1 x 2 x 1 - x 2 = - x 1 - x 2

Resolvendo para x 1 :

x 1 = - 1 2 x 2

Ou seja, concluímos que realmente existe   x 1 ≠ x 2 tal que y x 1 = y ( x 2 ) , logo a função não é injetora e ou invertível.

Passo 3

( c ) Derivando implicitamente em função de x :

2 x 2 - 3 x y + 1 = 0

2 x - 3 y - 3 x d y d x = 0

Isolando d y d x teremos:

d y d x = 2 x - 3 y 3 x

Agora derivando implicitamente em função de y :

2 x 2 - 3 x y + 1 = 0

2 x d x d y - 3 y d x d y - 3 x = 0

Isolando d x d y teremos:

d x d y = 3 x 2 x - 3 y

Resposta

( a ) y = 2 x 2 + 1 3 x

b y não tem inversa.

( c ) d y d x = 2 x - 3 y 3 x e d x d y = 3 x 2 x - 3 y

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