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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 14

Ache o comprimento do arco da curva y = 1 6 x 3 + 1 2 x - 1 do ponto 2 , 19 12 ao ponto 5 , 314 15 .

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva y = 1 6 x 3 + 1 2 x - 1 de x = 2 até x = 5 . Para isso vamos usar a expressão:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Desta forma, o primeiro passo é derivar a função:

y ' = 3 6 x 2 - 1 2 x - 2 = 1 2 x 2 - x - 2

Assim, temos que

1 + y ' 2 = 1 + 1 4 x 4 - 2 + x - 4 = 1 - 1 2 + 1 4 x 4 + 1 4 x - 4

Portanto,

1 + y ' 2 = x 4 + 2 + x - 4 4 = x 2 + x - 2 2 2

Desta forma,

1 + y ' 2 = x 2 + x - 2 2

Agora podemos escrever a integral que da o comprimento da curva:

L = 1 2 ∫ 2 5 x 2 + x - 2   d x

Passo 2

Agora só precisamos calcular a integral:

L = 1 2 x 3 3 - x - 1 2 5 = 1 2 125 3 - 1 5 - 8 3 + 1 2

Portanto,

L = 1 2 117 3 - 1 5 + 1 2 = 1 2 39 + 3 10 = 1 2 ⋅ 393 10

Assim, o comprimento da curva será

L = 393 20

Resposta

393 20

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes ∫ 6 8 4 x - 6 3 d x
Desenha a curva e visualmente estime o comprimento. Depois ache o seu comprimento exato. y = 2 3 x 2 - 1 3 2 ,1 ≤ x ≤ 3
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. y = x e - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1
Ache o comprimento da curva.y = 1 + 6 x^(3 // 2) , 0 = x = 1
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4