Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva.

x = y + y^3 , 1 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Note que agora foi dado x como função de y , então o comprimento será achado fazendo uma integral na variável y :

L = ∫ a b 1 + d x d y 2   d y

Assim, precisamos derivar x com relação a y !

Passo 2

Derivando x com relação a y :

d x d y = 1 + 3 y 2 ⇒ 1 + d x d y 2 = 1 + 1 + 3 y 2 2 = 2 + 6 y 2 + 9 y 4

Assim,

L = ∫ 0 1 2 + 6 y 2 + 9 y 4   d y

Como só foi pedido para escrever a integrar e não calculá-la, terminamos por aqui!

Resposta

L = ∫ 0 1 2 + 6 y 2 + 9 y 4   d y

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