Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.1 - Ex. 7

Ache o comprimento da curva.

y = 1 + 6 x^(3 // 2) , 0 <= x <= 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva y = 1 + 6 x^(3 // 2) , no intervalo 0 <= x <= 1 .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x

Onde y^' é a derivada da nossa função e [ a , b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função:

y^' = (3)/(2) * 6 x^(1 // 2)

y^' = 9 sqrt(x)

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, vamos ter:

1 + (y^')^2 = 1 + 81 x

Passo 3

Desta forma, o comprimento é dado pela integral:

L = int_0^1 sqrt(1 + 81 x) d x

Vamos fazer a mudança de variável u = 1 + 81 x => d u = 81 d x . Assim, d x = d u // 81 . Quando x = 0 , u = 1 e para x = 1 , u = 82 . Assim, temos:

L = (1)/(81) int_1^(82) sqrt(u) d u

Integrando em relação a u :

L = (1)/(81) [(2)/(3) u^(3 // 2)]_1^(82)

E aplicando os limites de integração:

L = (2)/(243) ( 82^(3 // 2) - 1 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(2)/(243) ( 82^(3 // 2) - 1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o Exercício 27 para a curva y = x + sen x , 0 = x = 2 pi
Esboce a curva y 3 = x ² ².Use as Fórmulas 3 e 4 para escrever duas integrais para o comprimento do arco de ( 0,0 ) a ( 1,1 ) . Observe que uma delas é uma integral imprópria e calcule ambas as integr
Encontre a função comprimento de arco para a curva y = s e n - 1 x + 1 - x 2 com ponto inicial ( 0,1 ) .
As curvas com equações x n + y n = 1 ,n = 4 ,6 ,8 ,… , são chamadas círculos gordos. Desenhe as curvas com n = 2 ,4 ,6 ,8 e 10 para ver o porquê. Escreva uma integral para o comprimento L 2 k do círcu
Ache a área da região limitada pela curva y = a r c s e n2 x , pela reta x = 1 4 3 e pelo eixo x .