Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva.

y = x * e^(-x^2) , 0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Só precisamos montar a integrar, não perca seu tempo tentando calculá-la!

Sabemos que o comprimento de uma curva num intervalo [ a , b ] é dado por

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Passo 2

Vamos derivar y :

y ' = 1 ⋅ e - x 2 + x e - x 2 ⋅ - 2 x = 1 - 2 x 2 e - x 2

Assim,

1 + y ' 2 = 1 + 1 - 2 x 2 2 e - 2 x 2

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = ∫ 0 1 1 + 1 - 2 x 2 2 e - 2 x 2   d x

Resposta

L = ∫ 0 1 1 + 1 - 2 x 2 2 e - 2 x 2   d x

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