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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 22

Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real

x 3 + 1 > x 2 + x

Passo 1

Vamos passar todo mundo pro lado esquerdo da equação, depois a gente faz alguma fatoração pra ficar fácil de jogar na tabela de variação de sinal no fim. Da tabela, tiramos nossos intervalos onde a nossa inequação é satisfeita.

Passo 2

Passando todo mundo pro lado esquerdo da equação, ficamos com:

x 3 + 1 - x 2 - x > 0

Reescrevendo:

( x 3 - x 2 ) - ( x - 1 ) > 0

Botando x 2 em evidência no primeiro termo:

x 2 x - 1 - x - 1 > 0

Como temos x - 1   multiplicando todo os termos do lado esquerdo, podemos botar ele em evidência também:

( x 2 - 1 ) ( x - 1 ) > 0

Podemos escrever o primeiro termo como o produto notável: a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b ) onde a = x e b = 1 .

x - 1 x + 1 x - 1 > 0

Que é o mesmo que:

x - 1 2 x + 1 > 0

Voilá! Temos nossos dois termos bonitinhos prontinhos pra irem pra a tabela! As raízes desses polinômios serão x = 1 e x = - 1 .

Passo 3

Agora vamos montar a nossa tabela de sinal para analisar o sinal da nossa função :

Como queremos os valores que satisfazem x - 1 2 x + 1 > 0 , os intervalos que definem o nosso conjunto solução são: - 1 < x < 1 e x > 1 .

Passo 4

Representando nosso intervalo na reta numérica, nós ficamos com todos os valores entre - 1 e 1 e todos os valores acima de 1 .

Resposta

- 1 ,   1 ∪ ( 1 ,   + ∞ )

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Resolva a inequação h )3 x 2 - x ≤ 0
Resolva a inequação d )x 2 - 90
Resolva a inequação a ) x 2 + 30
Resolva a inequação h )1 - x x 2 + 2 x + 20
Considere o polinômio do 2 º º grau a x 2 + b x + c e suponha Δ0 . Utilizando o item ( a ) do Exercício 8 , prove:Se a0 , então a x 2 + b x + c0 para todo x .Se a0 , então a x 2 + b x + c0 para todo x