Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 12
Considere o polinômio do grau e suponha . Utilizando o item do Exercício , prove:
- Se , então para todo .
- Se , então para todo
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente provar que na equação do segundo grau , quando é positiva, a equação é positiva (maior do que zero) e que quando é negativa, a equação é negativa (menor do que zero). Pra fazer isso, vamos usar a relação vista no o item do exercício :
Como essa igualdade já foi verificada lá no exercício , podemos utilizá-la!
Além disso, o enunciado pediu pra gente supor que é negativo (). Então, com base nisso e na relação dada pelo exercício , nós vamos analisar o sinal da expressão e verificar o que acontece quando e .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar analisando os termos dentro do colchete. Repare que como é negativo (menor do que zero), aquele sinal do lado de fora do termo , vai fazer com que esse quociente seja positivo.
Beleza, e o primeiro termo dentro do colchete? Repare que ele está elevado ao quadrado, então ele vai ter sempre um resultado positivo. Sacou? Isso acontece porque qualquer valor real elevado ao quadrado é positivo, então concluímos também que o termo também é positivo.
Além disso, a soma de dois números positivos �� também um número positivo, então tudo que tá dentro do colchete vai ser sempre positivo:
Isso significa que o sinal de toda a expressão vai ser determinado pelo sinal de . Porque se for positivo, teremos um número positivo multiplicado por outro número positivo e o resultado é um número positivo. E se for negativo, temos um número negativo multiplicado por um número positivo, o que nos dá um número negativo como resultado.
Assim, se , temos:
E como , concluímos que:
Da mesma forma, se , temos:
E consequentemente:
Como a gente queria provar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉