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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 19

Ache (d y)/(d x) por derivação implícita

Passo 1

Queremos encontrar (d y)/(d x) isolado

Vamos derivar os dois lados em função de x:

(d)/(d x) ( y^2 e^(2 x) + x y^3 ) = (d)/(d x) ( 1 )

Nesse momento, calculamos todas as derivadas em função de x diretamente e as derivadas em função de y nós derivamos para y adicionando, no fim, um y^' que nada mais é que o (d y)/(d x) :

Passo 2

Para o primeiro termo:

(d)/(d x) (y^2 e^(2 x) + x y^3) =

Vamos dividi-lo em g ' e h '

g^' = (d)/(d x) y^2 e^(2 x)

Usamos a regra da cadeira e do produto

g^' = 2 y y^' e^(2 x) + 2 e^(2 x) y^2

h^' = x y^3

Usamos a regra do produto

h^' = y^3 + 3 y^2 y ' x

Encontrando o primeiro termo pela soma de g ' e h ' :

2 y y^' e^(2 x) + 2 e^(2 x) y^2 + y^3 + 3 y^2 y ' x

Para o segundo termo da equação:

(d)/(d x) ( 1 )

= 0

Passo 3

Assim, igualando os dois termos:

2 y y^' e^(2 x) + 2 e^(2 x) y^2 + y^3 + 3 y^2 y^' x = 0

Isolando y’

2 y y^' e^(2 x) + 3 y^2 y^' x = - 2 e^(2 x) y^2 - y^3

y ' ( 2 y e^(2 x) + 3 y^2 x ) = - 2 e^(2 x) y^2 - y^3

y^' = (- 2 e^(2 x) y^2 - y^3)/(2 y e^(2 x) + 3 y^2 x)

y^' = (- 2 e^(2 x) y - y^2)/(2 e^(2 x) + 3 y x)

Resposta

(d y)/(d x) = (- 2 e^(2 x) y - y^2)/(2 e^(2 x) + 3 y x)

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