Ache dy / dx por derivação implícita

Passo 1

Queremos encontrar d y d x isolado

Vamos derivar os dois lados em função de x:

d d x ( y 2 e 2 x + x y 3 ) = d d x ( 1 )

Nesse momento, calculamos todas as derivadas em função de x diretamente e as derivadas em função de y nós derivamos para y adicionando, no fim, um y ' que nada mais é que o d y d x :

Passo 2

Para o primeiro termo:

d d x y 2 e 2 x + x y 3 =

Vamos dividi-lo em g ' e h '

g ' = d d x y 2 e 2 x

Usamos a regra da cadeira e do produto

g ' = 2 y y ' e 2 x + 2 e 2 x y 2

h ' =   x y 3

Usamos a regra do produto

h ' = y 3 + 3 y 2 y ' x

Encontrando o primeiro termo pela soma de g ' e h ' :

2 y y ' e 2 x + 2 e 2 x y 2 + y 3 + 3 y 2 y ' x

Para o segundo termo da equação:

d d x ( 1 )

= 0

Passo 3

Assim, igualando os dois termos:

2 y y ' e 2 x + 2 e 2 x y 2 + y 3 + 3 y 2 y ' x = 0

Isolando y’

2 y y ' e 2 x + 3 y 2 y ' x = - 2 e 2 x y 2 - y 3

y ' ( 2 y e 2 x + 3 y 2 x ) = - 2 e 2 x y 2 - y 3

y ' = - 2 e 2 x y 2 - y 3 2 y e 2 x + 3 y 2 x

y ' = - 2 e 2 x y - y 2 2 e 2 x + 3 y x

Resposta

d y d x = - 2 e 2 x y - y 2 2 e 2 x + 3 y x

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