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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 20

Ache a derivada da função dada.

G (t) = sqrt((5 t + 6)/(5 t - 4))

Passo 1

Devemos encontrar a derivada da função. Como se trata de um exercício para treinar técnicas de derivação, não vamos nos preocupar com o domínio da função e de sua derivada.

Reescrevendo a função, temos que

G (t) = (h (t))^(1 // 2) ,

onde h (t) = (5 t + 6)/(5 t - 4) . Assim, aplicando a regra da cadeia, temos que

G^' (t) = (1)/(2) (h (t))^(- 1 // 2) * h^' (t) = (1)/(sqrt(h (t))) * (h^' (t))/(2)

Portanto,

G^' (t) = sqrt((5 t - 4)/(5 t + 6)) * (h^' (t))/(2)

Passo 2

Para achar h ' ( t ) , vamos usar a regra do quociente:

h^' (t) = ((5 t + 6)^' * (5 t - 4) - (5 t + 6) * ( 5 t - 4 ) ')/((5 t - 4)^2) = (25 t - 20 - 25 t - 30)/((5 t - 4)^2)

Logo,

h^' (t) = - (50)/((5 t - 4)^2)

Assim,

G^' (t) = sqrt((5 t - 4)/(5 t + 6)) * (- (50)/(2 (5 t - 4)^2)) = - (25)/((5 t - 4)^2) * sqrt((5 t - 4)/(5 t + 6))

Resposta

G^' (t) = - (25)/((5 t - 4)^2) * sqrt((5 t - 4)/(5 t + 6))

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