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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 18

Encontre a derivada da função.

h (t) = (t^4 - 1)^3 (t^3 + 1)^4

Passo 1

Opa, bora lá! Precisamos derivar:

h (t) = (t^4 - 1)^3 (t^3 + 1)^4

Aqui vamos usar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x)

Temos que:

f (t) = (t^4 - 1)^3

e

g (t) = (t^3 + 1)^4

Repara que a gente vai usar a regra do produto duas vezes!

Passo 2

Usamos a regra do polinômio, da função constante e da cadeia pra calcular f ' ( t ) . Além da regra do produto:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

Aplicando a regra do produto:

f^' (t) = ((t^4 - 1)^3)^' = 3 (t^4 - 1)^(3 - 1) (t^4 - 1)^'

Derivando:

f^' ( t ) = 3 (t^4 - 1)^2 (4 t^(4 - 1) - 0)

f^' (t) = 3 (t^4 - 1)^2 (4 t^3 - 0)

Agora é só simplificar:

f^' (t) = 3 (t^4 - 1)^2 4 t^3

f^' ( t ) = 12 t^3 (t^4 - 1)^2

Passo 3

Com g ' ( t ) é a mesma coisa:

g^' (t) = ((t^3 + 1)^4)^'

g^' (t) = 4 (t^3 + 1)^(4 - 1) (t^3 + 1)^'

g^' (t) = 4 (t^3 + 1)^3 (3 t^(3 - 1) + 0)

g^' (t) = 4 (t^3 + 1)^3 (3 t^2)

g^' (t) = 12 t^2 (t^3 + 1)^3

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

h^' ( t ) = (f (t) g (t))^' = f^' (t) g (t) + g^' (t) f (t)

h^' ( t ) = 12 t^3 (t^4 - 1)^2 (t^3 + 1)^4 + 12 t^2 (t^3 + 1)^3 (t^4 - 1)^3

Prontinho!

Resposta

h ' ( t ) = 12 t^3 (t^4 - 1)^2 . (t^3 + 1)^4 + 12 t^2 (t^3 + 1)^3 . (t^4 - 1)^3

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