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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 74

Se F (x) = f ( 3 f (4 f (x)) ) , onde f (0) = 0 e f^' (0) = 2 , encontre F ' ( 0 ) .

Passo 1

O enunciado forneceu uma função F que é uma composta tripla da função f e, além disso, forneceu informações sobre f e sua derivada em x = 0 . Devemos calacular a derivada de F nesse ponto e, para isso, primeiro achamos sua derivada em termos da derivada de f e depois substituímos x = 0 .

Passo 2

Vamos achar primeiro F ' ( x ) . Derivando F pela regra da cadeia:

F^' (x) = f^' (3 f (4 f (x))) * 3 f^' (4 f (x)) * 4 f ' ( x )

Passo 3

Substituindo x = 0 , temos que

F^' (0) = f^' (3 f (4 f (0))) * 3 f^' (4 f (0)) * 4 f ' ( 0 )

Já temos que f^' (0) = 2 . Veja que f^' (4 f (0)) = f^' (4 * 0) = f^' (0) = 2 . O mesmo ocorre com f^' (3 f (4 f (0))) = f^' (3 f (4 * 0)) = f^' (3 f (0)) = f^' (3 * 0) = f^' (0) = 2 . Assim,

F^' (0) = 2 * 3 * 2 * 4 * 2 = 96

Resposta

F^' (0) = 96

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