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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 16

Ache a derivada da função f (x) = sec^(- 1) ( cosh x ) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função inversa trigonométrica com uma hiperbólica em que a hiperbólica está dentro da trigonométrica, daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função trigonométrica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar da derivada

( sec^(- 1) x ) ' = (1)/(|x| sqrt(x^2 - 1))

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( sec^(- 1) u ) ' = (u ')/(|u| sqrt(u^2 - 1))

Passo 2

No nosso exemplo, f (x) = sec^(- 1) underset(u)(ubrace (cosh x)) , logo u = cosh x e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

f ' (x) = ( sec^(- 1) u ) ' = (( cosh x ) ')/(|cosh x| sqrt(( cosh x )^2 - 1))

Passo 3

Agora precisamos da derivada de cosh x . Pessoal, a derivada do cosseno hiperbólico é o seno hiperbólico.

(cosh x) ' = senh x

Agora basta substituir na f ' ( x ) .

Passo 4

Substituindo (cosh x) ' = senh x em

f ' (x) = (( cosh x ) ')/(|cosh x| sqrt(( cosh x )^2 - 1))

ficamos com

f ' (x) = (senh x)/(|cosh x| sqrt(( cosh x )^2 - 1))

Aqui podemos colocar |cosh x| = cosh x , pois cosh x = (e^(- x) + e^x)/(2) > 0 é uma função sempre positiva.

f ' (x) = (senh x)/(cosh x sqrt(( cosh x )^2 - 1)) = (tanh x)/(sqrt(cosh^2 x - 1))

Acima usamos a definição de tanh x = (senh x)/(cosh x) . Agora ficou bacana, né?

Resposta

f ' (x) = (tanh x)/(sqrt(cosh^2 x - 1))

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