Nos Exercícios de 11 a 28, ache (f^(-1))'(d)

24. f(x) = x^2 - 6x + 7, x <= 3; d = 0

Passo 1

Para achar ( f - 1 ) ' ( d ) da função dada podemos fazer uso do teorema 7.2.4 do capítulo 7, seção 2 do livro que diz:

Seja f uma função monótona e continua no intervalo fechado [a, b], contendo o número c e seja f c = d . Se f ' ( c ) existir e f ' ( c ) ≠ 0 , então ( f - 1 ) ' ( d ) existirá e

f - 1 ' d = 1 f ' c

Passo 2

Agora vamos as contas, temos que saber quem é o c em nossa situação, mas para isso temos:

f c = d

⇒ c 2 - 6 c + 7 = 0

⇒ c = 6 ± 6 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 7 2 ⋅ 1

⇒ c = 6 ± 36 - 28 2

⇒ c = 6 ± 8 2

⇒ c = 3 + 2           o u           c = 3 - 2

Mas como x ≤ 3 , temos que:

c = 3 - 2

Passo 3

Agora vamos calcular f ' ( c ) , com o que obtemos no passo 2 e depois aplicar a fórmula do teorema.

f x = x 2 - 6 x + 7

f ' x = 2 x - 6

Assim:

f ' 3 - 2 = 2 ( 3 - 2 ) - 6

                          = 6 - 2 2 - 6

                          = - 2 2

Agora usando na fórmula do teorema:

f - 1 ' d = 1 f ' c

Onde f - 1 d = d + 2 + 9

Temos:

f - 1 ' 0 = 1 2 ( 3 - 2 ) - 6

                                        = - 1 2 2

                                        = - 2 4

Resposta

f - 1 ' 0 = - 2 4

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