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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 30

Calcule a integral definida:

int_0^2 sech^2 (x)/(2) d x

Passo 1

Podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok?

A primeira coisa que vamos fazer é trocar o argumento da função hiperbólica para u .

Passo 2

Calculemos então a integral:

int sech^2 ((x)/(2)) d x

Aqui faremos uma substituição no argumento da função hiperbólica, chamando u = (x)/(2) e derivando, temos d u = (1)/(2) d x .

Vamos multiplicar essa expressão por 2 para deixar o d x sozinho.

2 d u = d x

Passo 3

Sendo assim, podemos trocar a variável da integral e obter uma mais simples:

int sech^2 ((x)/(2)) d x = int sech^2 u (2 d u) = 2 int sech^2 u d u

Passo 4

A integral em u é imediata, pessoal! Temos que ( tgh u ) ' = sech^2 u .

Assim,

int sech^2 ((x)/(2)) d x = 2 int sech^2 u d u = 2 tgh^2 u + C

Passo 5

Agora, basta voltar na variável inicial x , pois u = 3 x .

int sech^2 ((x)/(2)) d x = 2 tgh^2 (x)/(2) + C

Passo 6

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_0^2 sech^2 (x)/(2) d x = [2 tgh^2 (x)/(2)]_0^2 = 2 tgh^2 (2)/(2) - 2 tgh^2 (0)/(2) = 2 ( tgh^2 1 - tgh^2 0 )

Lembrando que tgh x = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x)) .

int_0^2 sech^2 (x)/(2) d x = 2 (((e^1 - e^(- 1))/(e^1 + e^(- 1)))^2 - ((e^0 - e^(- 0))/(e^0 + e^(- 0)))^2) = 2 ((e^1 - e^1)/(e^1 + e^(- 1)))^2 = 2 tgh^2 1

Fechou!

Resposta

int_0^2 sech^2 (x)/(2) d x = 2 tgh^2 1

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