Encontre a derivada.

g(x) = senh²(x)

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, nessa questão precisamos derivar a função

g x = senh ² ⁡ x

E para fazer isso precisamos olhar para o tipo de função que temos, assim saberemos qual a melhor regra de derivação para esse caso.

E repare que nossa função é formada por uma função cosh ⁡ x que está elevada a 4 . Sendo assim, dizemos que temos uma função composta, e para fazer sua derivação podemos usar a regra da cadeia.

Bora relembrar. Sendo

g x = senh ² ⁡ x

Chamando:

u = sen h ⁡ x    

g u = u 2

Sua derivada será dada por:

d g x d x = d g x d u ⋅ d u d x

Ou seja, fazemos a derivada da função de fora, multiplicada pela derivada da função de dentro.

Vamos ver isso acontecendo no passo a passo.

Passo 2

Nossa função é

g x = cosh 4 ⁡ x

E estamos fazendo

u = cosh ⁡ x    

g u = u 4

E precisamos das suas derivadas, assim

Derivando u , temos que lembrar que essa é uma daquelas derivada trigonométricas tabeladas. Assim:

u = cosh ⁡ x    

E sua derivada será:

d u d x = cosh ⁡ x

Já para a função

g u = u 2

Podemos derivar diretamente pela regra do expoente. Assim:

d g x d u = 2 u

Passo 3

Lembrando que estamos fazendo

d g x d x = d g x d u ⋅ d u d x

Substituindo tudo que já encontramos, ficamos com

d g x d x = 2 u ⋅ cosh ⁡ x

E substituindo u:

d g x d x = 2 senh ⁡ x ⋅ cosh ⁡ x

E prontinho, essa é nossa derivada.  

Resposta

g x ' = 2   s e n h   x   . cosh ⁡ x

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