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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 55

Ache a derivada da função

y = ∫ x x 3 t sin ⁡ t d t

Passo 1

Quando batemos o olho fica um pouco assustador né?! Mas vamos lembrar da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte

Se

g x = ∫ a x f ( t ) d t

Então

g ' x = f ( x )

Basicamente, ele diz que a derivada de uma integral é a própria função que seria integrada. Já que uma operação é o inverso da outra.

Veja só!

Passo 2

Agora ficou mais simples de visualizar, não ficou?!

Então vamos substituir esta integral por duas integrais da seguinte forma

y = ∫ x x 3 t sin ⁡ t d t = ∫ x 1 t sin ⁡ t d t + ∫ 1 x 3 t sin ⁡ t d t

Fazemos isso porque no teoremos um dos limites de integração está fixado em uma constante a , aqui estamos usando o 1 , para fazer esse papel.

Vamos também trocar os limites de integração para ficarmos com as duas integrais indo de 1 até o limite superior. Para isso, basta multiplicar a integral por - 1 . Assim temos:

y = - ∫ 1 x t sin ⁡ t d t + ∫ 1 x 3 t sin ⁡ t d t

Vamos ajudar agora a outra parte dos limites de integação.

Passo 3

Agora que já relembramos o teorema fundamental do cálculo, vamos dizer o seguinte, seja

w = x   e   z = x 3

Temos que

d w d x = 1 2 x   e d z d x = 3 x 2

Então, se substituirmos na função y , ficamos com

y = - ∫ 1 w t sin ⁡ t d t + ∫ 1 z t sin ⁡ t d t

Passo 4

Agora, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Calculo, mas note que os limites superiores não são x , mas sim w e z , então precisamos usar a regra da cadeia para encontrarmos y ' .

y ' = - w sin ⁡ w d w d x + z sin ⁡ z d z d x  

Substituindo o que já temos em mãos, ficamos com:

y ' = - x ⋅ sin ⁡ x ⋅ 1 2 x + x 3 ⋅ sin ⁡ x 3 ⋅ 3 x 2

E ajustando um pouco melhor:

y ' = - x 4 sin ⁡ x 2 x + 3 x 7 2 s i n ⁡ ( x 3 )

y ' = 3 sin ⁡ x 3 x 7 2 - sin ⁡ x 2 x 4

E prontinho.

Resposta

y ' = 3 sin ⁡ x 3 x 7 2 - sin ⁡ x 2 x 4

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