Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 55
Ache a derivada da função
Passo 1
Quando batemos o olho fica um pouco assustador né?! Mas vamos lembrar da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte
Se
Então
Basicamente, ele diz que a derivada de uma integral é a própria função que seria integrada. Já que uma operação é o inverso da outra.
Veja só!
Passo 2
Agora ficou mais simples de visualizar, não ficou?!
Então vamos substituir esta integral por duas integrais da seguinte forma
Fazemos isso porque no teoremos um dos limites de integração está fixado em uma constante , aqui estamos usando o , para fazer esse papel.
Vamos também trocar os limites de integração para ficarmos com as duas integrais indo de até o limite superior. Para isso, basta multiplicar a integral por . Assim temos:
Vamos ajudar agora a outra parte dos limites de integação.
Passo 3
Agora que já relembramos o teorema fundamental do cálculo, vamos dizer o seguinte, seja
Temos que
Então, se substituirmos na função , ficamos com
Passo 4
Agora, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Calculo, mas note que os limites superiores não são , mas sim e , então precisamos usar a regra da cadeia para encontrarmos .
Substituindo o que já temos em mãos, ficamos com:
E ajustando um pouco melhor:
E prontinho.