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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 67

Cada uma das seguintes funções resolve um dos problemas de valor inicial dos Exercícios 65-68. Qual função resolve qual problema? Justifique brevemente suas respostas.

y = ∫ 1 x 1 t d t - 3

y = ∫ 0 x sec ⁡ t d t + 4

y = ∫ - 1 x sec ⁡ t d t + 4

y = ∫ π x 1 t d t - 3

d y d x = sec ⁡ x ,       y 0 = 4

Passo 1

Galera, nesses exercícios a boa é usar o teorema fundamental do cálculo e derivar as expressões dadas no enunciado para ver qual das funções dada bate com o lado direito da equação do problema.

Sempre temos que avaliar se no ponto dado a função satisfaz a condição inicial!

Passo 2

Então vamos derivar os monstrinhos. Vamos começar pelo primeiro:

y = ∫ 1 x 1 t d t - 3 → d y d x = d d x ∫ 1 x 1 t d t - 3 = d d x ∫ 1 x 1 t d t - d d x 3

Agora vamos usar o teorema fundamental do cálculo que diz o seguinte

d d x ∫ a g x f ( t ) d t = f g x ⋅ g ' ( x )

Aqui no nosso exercício temos que

f t = 1 t

g x = x → g ' x = 1

Logo, temos que

d y d x = 1 x ⋅ 1 - 0 = 1 x

Legal esse cara não satisfaz a equação dada. Então ele não é nossa solução

Passo 3

Vamos derivar o segundo:

y = ∫ 0 x sec ⁡ t d t + 4 → d y d x = d d x ∫ 0 x sec ⁡ t d t + 4 = d d x ∫ 0 x sec ⁡ t d t - d d x 4

Agora vamos usar o teorema fundamental do cálculo que diz o seguinte

d d x ∫ a g x f ( t ) d t = f g x ⋅ g ' ( x )

Aqui no nosso exercício temos que

f t = sec ⁡ t

g x = x → g ' x = 1

Logo, temos que

d y d x = sec ⁡ x ⋅ 1 - 0 = sec ⁡ x

Legal, esse satisfaz a equação. Então ele pode ser a nossa solução, precisamos verificar a condição inicial agora.

Passo 4

A condição inicial aqui é y 0 = 4 . Então vamos substituir x = 0 e ver se temos como resultado 4 !

y = ∫ 0 x sec ⁡ t d t + 4 → ∫ 0 0 sec ⁡ t d t + 4

Mas, como o limite superior e inferior da integral coincidem, temos que o valor da integral é zero, logo:

∫ 0 0 sec ⁡ t d t + 4 = 0 + 4 = 4

Opa! Achamos o cara que satisfaz tanto a equação dada como a condição inicial. Ele vai ser a nossa solução!

Resposta

y = ∫ 0 x sec ⁡ t d t + 4

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