Calcule a integral

∫ tan 3 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ d θ

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

∫ tan 3 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ d θ = ∫ tan 3 ⁡ θ sec 4 ⁡ θ d θ = ∫ tan 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ ( a y ) + 1 = sec 2 ⁡ ( a y )

Então, substituindo

∫ tan 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tan 3 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ

Agora, podemos calcular pela substituição

Seja u = t a n ⁡ ( θ ) , temos que d u = sec 2 ⁡ ( θ )

∫ tan 3 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ u 3 u 2 + 1 d u = ∫ u 5 + u 3 d u = 1 6 u 6 + 1 4 u 4 + c = 1 6 tan 6 ⁡ θ + 1 4 tan 4 ⁡ θ + c

Resposta

∫ tan 3 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ d θ = 1 6 tan 6 ⁡ θ + 1 4 tan 4 ⁡ θ + c

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