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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 33

Calcule a integral

int ((tan^3 (theta))/(cos^4 (theta))) d theta

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

int ((tan^3 (theta))/(cos^4 (theta))) d theta = int tan^3 (theta) sec^4 (theta) d theta = int tan^3 (theta) sec^2 (theta) sec^2 (theta) d theta

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan^2 ( a y ) + 1 = sec^2 ( a y )

Então, substituindo

int tan^3 (theta) sec^2 (theta) sec^2 (theta) d theta = int tan^3 (theta) (tan^2 (theta) + 1) sec^2 (theta) d theta

Agora, podemos calcular pela substituição

Seja u = t a n ( theta ) , temos que d u = sec^2 ( theta )

int tan^3 (theta) (tan^2 (theta) + 1) sec^2 (theta) d theta = int u^3 (u^2 + 1) d u = int (u^5 + u^3) d u = (1)/(6) u^6 + (1)/(4) u^4 + c = (1)/(6) tan^6 (theta) + (1)/(4) tan^4 (theta) + c

Resposta

int ((tan^3 (theta))/(cos^4 (theta))) d theta = (1)/(6) tan^6 (theta) + (1)/(4) tan^4 (theta) + c

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