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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 114

Obtenha o resultado por uma substituição da função hiperbólica.

∫ d x a 2 - x 2 3 / 2 = 1 a 2 s e n h   tanh - 1 ⁡ x a + C ,     a > 0

Passo 1

O exercício pede para provarmos a relação fazendo uma substituição por função hiperbólica na integral. Para isso, você deve lembrar que

1 - tanh 2 ⁡ t = sech 2 ⁡ t

Assim, vamos fazer a substituição x = a tanh ⁡ t . Assim,

a 2 - x 2 = a 2 1 - tanh 2 ⁡ t = a 2 sech 2 ⁡ t

Portanto,

a 2 - x 2 3 / 2 = a 3 sech 3 ⁡ t

Além disso,

d x = sech 2 ⁡ t   d t

Portanto,

I = ∫ d x a 2 - x 2 3 / 2 = ∫ a  sech 2 ⁡ t a 3 sech 3 ⁡ t   d t = 1 a 2 ∫ 1 sech ⁡ t   d t

Passo 2

Por outro lado, sabemos que

cosh ⁡ t = 1 sech ⁡ t

Assim,

I = 1 a 2 ∫ cosh ⁡ t   d t

Como a integral do cosseno hiperbólico é o seno hiperbólico:

I = 1 a 2 s e n h   t + C

Passo 3

Por fim, basta lembrar que chamamos x = a tanh ⁡ t . Portanto,

tanh ⁡ t = x a ⇒ t = tanh - 1 ⁡ x a

Desta forma,

I = 1 a 2 s e n h   tanh - 1 ⁡ x a + C

Essa é a relação que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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