Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 54

Ache a derivada da função

g x = ∫ tan ⁡ x x 2 1 2 + t 4 d t

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema queremos calcular a derivada da função g x , onde

g x = ∫ tan ⁡ x x 2 1 2 + t 4 d t

Quando batemos o olho fica um pouco assustador né?! Mas vamos lembrar da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte

Se

g x = ∫ a x f ( t ) d t

Então

g ' x = f ( x )

Basicamente, ele diz que a derivada de uma integral é a própria função que seria integrada. Já que uma operação é o inverso da outra.

Veja só!

Passo 2

Agora ficou mais simples de visualizar, não ficou?!

Então vamos substituir esta integral por duas integrais da seguinte forma

g x = ∫ tan ⁡ x x 2 1 2 + t 4 d t = ∫ tan ⁡ x 1 1 2 + t 4 d t + ∫ 1 x 2 1 2 + t 4 d t

Fazemos isso porque no teoremos um dos limites de integração está fixado em uma constante a , aqui estamos usando o 1 , para fazer esse papel.

Vamos também trocar os limites de integração para ficarmos com as duas integrais indo de 1 até o limite superior. Para isso basta multiplicar a integral por - 1 . Assim, teremos:

g x = - ∫ 1 t a n ⁡ ( x ) 1 2 + t 4 d t + ∫ 1 x 2 1 2 + t 4 d t

Vamos ajudar agora a outra parte dos limites de integação.

Passo 3

Agora que já relembramos o teorema fundamental do cálculo, vamos dizer o seguinte, seja

w = tan ⁡ x   e   z = x 2

Temos que

d w d x = sec 2 ⁡ ( x ) e   d z d x = 2 x

Então, se substituirmos na função g , ficamos com

g x = - ∫ 1 w 1 2 + t 4 d t + ∫ 1 z 1 2 + t 4 d t

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Calculo, mas note que os limites superiores não são x , mas sim w e z , então precisamos usar a regra da cadeia para encontrarmos g ' ( x ) .

g ' x = - 1 2 + w 4 d w d x + 1 2 + z 4 d z d x

Agora, substituindo o que sabemos, podemos encontrar g ' ( x )

g ' x = - 1 2 + tan 4 ⁡ x sec 2 ⁡ x + 1 2 + x 2 4 ( 2 x )

Simplificando...

g ' x = - sec 2 ⁡ x 2 + tan 4 ⁡ x + 2 x 2 + x 8

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

g ' x = - sec 2 ⁡ x 2 + tan 4 ⁡ x + 2 x 2 + x 8

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral definida int_1^3 3 x^2 + 5 x - 1 d x
Calcule a integral definida int_3^6 x^2 - 2 x d x
Calcule a integral definida (d)/(d x) int_2^(t g x) (1)/(1 + t ²) d t ²
Calcule a integral definida int_(- 3)^5 y^3 - 4 y d y
Calcule a integral definida int_1^2 (x^2 + 1)/(x ²) d x ²