Sejam E : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , θ um número qualquer do intervalo [ 0 , π [ , e u → = ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ )

( a ) Prove que existem duas retas tangentes a E paralelas a u → e calcule sua distância δ ao centro da elipse em função de a , b , θ

( b ) Seja r uma reta paralela a u → . Prove que r é secante a E se d O , r < δ e que r ∩ E = ∅ se d O , r > δ

( c ) Conclua do item ( b ) que r ∩ E = ∅ se d O , r > a e que r é secante a E se d O , r < b

Passo 1

Essa questão é pura aplicação de teoria do Δ onde o vetor diretor é dado por m , n = ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ ) em um ponto de tangência P = ( h , k ) , começando pela letra a, o determinante nulo para a tangente na equação 22 - 20 nos dá uma equação igual a:

- n h - m k 2 + q m 2 + p n 2 = 0

- h s e n   θ - k c o s   θ 2 + q c o s 2 θ + p s e n 2 θ = 0 ( 1 )

Onde o vetor diretor da normal do ponto de tangência e que aponta para o centro vale n → = ( s e n   θ , - cos ⁡ θ ) , portanto o termo h s e n   θ - k c o s   θ representa a distância do centro para o ponto de tangência ou d ( O , r ) , que é a distância do centro O até r , logo:

Para p = a 2 e q = b 2

- δ 2 + b 2 cos 2 ⁡ θ + a 2 s e n 2 θ = 0

δ = b 2 cos 2 ⁡ θ + a 2 s e n 2 θ

Passo 2

Para a letra b teremos que Δ < 0 , o que nos dá uma representação da equação q igual a:

- d O , r 2 + δ 2 < 0

Então:

d O , r < δ

E para uma disjunta, onde Δ > 0

d O , r > δ

Passo 3

E para a letra c teremos que se a reta é exterior nós teremos:

δ = b 2 cos 2 ⁡ θ + a 2 s e n 2 θ

E quando θ = 0 teremos:

δ = b 2 = b

E se θ = π / 2

δ = a 2 = a

E como as retas tangentes estão dentro do intervalor de [ 0 , π [ , então é correto dizer que o valor de δ para a tangente está para caso:

b < δ < a

E para a secante portanto será se esse valor de δ for maior que a , e para a disjunta se δ < b .

Resposta

a ) δ = b 2 cos 2 ⁡ θ + a 2 s e n 2 θ

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