Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 69
Caso seja tangente a alguma elipse de focos e , obtenha uma equação de .
Passo 1
Vamos supor que a elipse tem equação igual a:
E como na letra temos um foco em , portanto , uma vez que os focos numa elipse sempre estão no eixo maior, então:
Dessa forma a equação da elipse será:
Passo 2
Agora vamos encontrar os pontos de tangência da reta com a elipse:
E aplicando o ponto na reta tangente nós teremos:
Dessa forma:
Resolvendo essa equação do segundo grau nós teremos:
Fazendo ser nulo (pois temos a reta tangente e só temos um valor de para essa reta) nós teríamos:
Isso nos dá uma equação do terceiro grau cujas raízes são:
Como não pode ser nulo e nem pode ser negativo então , nos dando uma equação de elipse ser igual a:
Esse valor de nos daria:
Passo 3
No caso da letra note que o ponto pertence a reta tangente e como ela pertence a reta que era para ser a tangente, então isso quer dizer que ela é a secante. Portanto não existirá essa elipse
Já para os focos em nós conseguimos ver tranquilamente que essa reta atravessa o eixo em portanto ela atravessaria essa elipse sendo uma reta de secante nunca uma de tangente. Se quiser você pode fazer a mesma coisa que fiz para a letra , você vai ver que não há cujo determinante é nulo, sempre terei que ter dois valores distintos de k