Sejam P e Q pontos distintos, pertencentes a uma elipse E . Prove que as retas tangentes a E em P e Q são paralelas se, e somente se, o centro da elipse é o ponto médio de P Q .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 61

Sejam e pontos distintos, pertencentes a uma elipse . Prove que as retas tangentes a em e são paralelas se, e somente se, o centro da elipse é o ponto médio de .

Passo 1

Visualmente o que temos é algo desse sentido.

Onde as retas e são paralelas por estarem colineares os pontos , sendo o centro da elipse. Então para uma equação de elipse igual a :

Nós teremos que o determinante dessa elipse seja zero para obtermos as retas tangentes, ou seja:

Para um ponto e um vetor direcional . E note que essa condição independe se temos um vetor direção igual a ou , o sinal se corta e a igualdade é mantida. E mesmo se e esse valor tanto para quanto a direção da reta só acontece se tivermos uma reta colinear entre esses três pontos, ou seja:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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