Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 64

Conhecendo o vértice de um paralelogramo circunscrito a elipse , determine os outros três.

Passo 1

Basicamente queremos formar uma imagem como essa aqui.

E como vimos na questão , se um ponto é pertencente a uma reta tangente a elipse então existe um ponto que também será tangente a essa elipse. Pois forma-se uma reta colinear entre esses dois pontos e o ponto de origem do sistema cartesiano. Portanto um dos vértices desse paralelogramo será:

Mesmo que o ponto só esteja na reta tangente e não seja um ponto de tangência em si.

Passo 2

Essa equação de elipse se dividindo tudo por pode ser escrita como:

E como podemos ver na figura um ponto de vértice do paralelogramo se liga a duas retas tangentes a elipse e dizendo que temos pontos de tangencia em logo:

Para:

Então se substituímos o ponto na primeira equação nós teremos uma equação de reta igual a:

Por esse sistema nós vemos que teremos pontos de tangência em :

Esses dois pontos de tangência nos darão duas equações de reta tangentes a elipse

Passo 3

Essas retas tangentes serão iguais a:

Para os pontos e teremos a reta com coeficiente angular igual a:

E coeficiente linear igual a:

Portanto temos uma reta tangente igual a

E a outra reta tangente entre e terá coeficiente angular em:

E coeficiente linear igual a:

Logo teremos uma equação de reta tangente em:

Essas retas terão como ponto de encontro o ponto tal como pode ser visto na imagem a baixo:

Passo 4

Então para encontrarmos um dos pontos de vértice que faltam basta encontrarmos a equação de uma das retas do paralelogramo que faltam e que será oposta e simétrica a uma das outras retas previamente já encontradas, por exemplo pegando a reta:

Nós temos que a outra reta paralela a ela será dada por:

Nos dando a figura abaixo

E o ponto de união entre:

Será:

Então o outro vértice que falta será a parte espelhada em e desse último ponto e que será:

Resposta

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