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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.3 - Ex. 6

Ache uma equação da circunferência que satisfaça as condições:

Passa pelos três pontos ( 2 ,   8 ) , ( 7 ,   3 ) e ( - 2 ,   0 ) .

Passo 1

Sabemos que a distância entre o centro e qualquer ponto da circunferência é constante e igual ao raio. Sabemos também que a fórmula da distância entre dois pontos P 1 x 1 ,   y 1 e P 2 x 2 ,   y 2 é dada por d = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2 . Além disso, a equação de uma circunferência com centro no ponto x 0 ,   y 0 e raio r é x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2 . Dessa forma, precisamos encontrar as coordenadas do centro e o raio.

Passo 2

Para cada ponto, temos que a distância dele até o centro é igual ao raio.

d 2 = r 2

E assim, temos este sistema:

2 - x 0 2 + 8 - y 0 2 = r 2   i 7 - x 0 2 + 3 - y 0 2 = r 2   i i - 2 - x 0 2 + 0 - y 0 2 = r 2   i i i

4 - 4 ⋅ x 0 + x 0 2 + 64 - 16 ⋅ y 0 + y 0 2 = r 2   i 49 - 14 ⋅ x 0 + x 0 2 + 9 - 6 ⋅ y 0 + y 0 2 = r 2   i i 4 + 4 ⋅ x 0 + x 0 2 + y 0 2 = r 2   i i i

Passo 3

Fazendo i - ( i i ) , temos:

- 45 + 10 ⋅ x 0 + 0 + 55 - 10 ⋅ y 0 + 0 = 0

10 ⋅ x 0 + 10 = 10 ⋅ y 0

y 0 = x 0 + 1

Passo 4

Fazendo i - i i i , temos:

0 - 8 ⋅ x 0 + 0 + 64 - 16 ⋅ y 0 + 0 = 0

- x 0 + 8 - 2 ⋅ y 0 = 0

Passo 5

Substituindo o resultado do passo 3 no resultado do passo 4, temos:

- x 0 + 8 - 2 ⋅ x 0 + 1 = 0

- x 0 + 8 - 2 ⋅ x 0 - 2 = 0

6 = 3 ⋅ x 0

x 0 = 2

Passo 6

Substituindo o resultado do passo 5 no resultado do passo 3, temos:

y 0 = 2 + 1

y 0 = 3

Passo 7

Substituindo os resultados dos passos 5 e 6 na equação i i i do passo 2, temos:

4 + 4 ⋅ 2 + 2 2 + 3 2 = r 2  

25 = r 2

Como o raio deve ser um número real positivo,

r = 5

E assim, podemos substituir os valores encontrados na equação x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2 .

Resposta

x - 2 2 + y - 3 2 = 25

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Ache uma equação da reta que passa pelo ponto de interseção das retas 5 x + 6 y - 4 = 0 e x - 3 y + 2 = 0 e é perpendicular à reta x - 4 y - 20 = 0 , sem determinar o ponto de interseção das retas. (S
Dada f x = 3 x 2 - x + 5 , ache f - x 2 .
Ache uma equação da reta que passa pelo ponto - 1 ,6 e tem inclinação 3 .
Determine os valores de k e h se 3 x + k ⋅ y + 2 = 0 e 5 x - y + h = 0 forem equações da mesma reta.
Dada g x = x - 1 , ache g x + h - g x h ,h ≠ 0 .