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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.3 - Ex. 47

Ache uma equação da circunferência satisfazendo as condições dadas:

Tangente à reta 3 ⋅ x + y + 2 = 0 em - 1 ,   1 e passa pelo ponto 3 ,   5 .

Passo 1

Sabendo que uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência, podemos descobrir a reta sobre a qual se encontra o centro da circunferência e assim teremos uma equação para descobrir as coordenadas do centro. Sabendo que os dois pontos dados pertencem à circunferência, ou seja, satisfazem sua equação, encontramos a outra equação para resolver o sistema que dará as coordenadas do centro. Depois disso, descobrimos o raio substituindo o centro e um dos pontos na equação da circunferência.

(Lembrando: uma reta com equação reduzida y = m ⋅ x + n possui infinitas retas perpendiculares a ela e todas com inclinação m ’ = - 1 m .)

Passo 2

Primeiro , vamos reescrever a equação da reta na forma reduzida para descobrir seu coeficiente angular.

3 ⋅ x + y + 2 = 0

3 ⋅ x + 2 = - y

y = - 3 ⋅ x - 2

Logo, temos que m = - 3 e m ’ = - 1 - 3 = 1 3 .

Passo 3

Tendo a inclinação m de uma reta e um ponto P x P ,   y P por onde ela passa, podemos descobrir a equação reduzida dela fazendo y = m ⋅ x - x P + y P , então a equação da reta que contém o centro é

y = 1 3 ⋅ x - - 1 + 1

y = 1 3 ⋅ x + 1 3 + 1

y = 1 3 ⋅ x + 4 3

E como o centro pertence à reta, podemos escrever que y 0 = 1 3 ⋅ x 0 + 4 3 .

Passo 4

Sabendo que - 1 ,   1 e 3 ,   5 pertencem à circunferência x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2 , temos

- 1 - x 0 2 + 1 - y 0 2 = r 2 = 3 - x 0 2 + 5 - y 0 2

1 + 2 ⋅ x 0 + x 0 2 + 1 - 2 ⋅ y 0 + y 0 2 = 9 - 6 ⋅ x 0 + x 0 2 + 25 - 10 ⋅ y 0 + y 0 2

2 - 34 + 2 ⋅ x 0 + 6 ⋅ x 0 - 2 ⋅ y 0 + 10 ⋅ y 0 = 0

8 ⋅ x 0 + 8 ⋅ y 0 - 32 = 0

x 0 + y 0 - 4 = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema

y 0 = 1 3 ⋅ x 0 + 4 3 x 0   + y 0 - 4 = 0

Substituindo a primeira na segunda, temos

x 0 + 1 3 ⋅ x 0 + 4 3 - 4 = 0

4 3 ⋅ x 0 = 4 - 4 3 = 8 3

x 0 = 2

E substituindo na segunda equação, temos

2 + y 0 - 4 = 0

y 0 = 2

Passo 5

Substituindo agora as coordenadas do centro e o ponto - 1 ,   1 na equação da circunferência, temos

- 1 - 2 2 + 1 - 2 2 = r 2

r 2 = - 3 2 + - 1 2 = 10

Resposta

x - 2 2 + y - 2 2 = 10

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