Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.6 - Ex. 8
Escreva a equação polar da cônica com o foco na origem e com as informações dadas
Hipérbole, excentricidade , diretriz
Passo 1
Fala ai pessoal! De boa?
A questão pede para encontrarmos a equação polar de uma cônica com foco na origem e diretriz conhecida, podemos usar a fórmula geral:
onde é a excentricidade e é a distância da diretriz ao polo (origem). No caso de uma hipérbole com excentricidade diretriz , a distância da diretriz ao polo é
Vamos seguir alguns passos
- Identificar a excentricidade e a equação da diretriz .
- Determinar a distância da diretriz
- Substituir os valores de e na fórmula da cônica
E Resolver!!!
Passo 2
De acordo com o enunciado temos os seguintes termos
Passo 3
Vamos encontrar a diretriz em termos das coordenadas cartesianas, já que ela é uma reta. Sabemos que:
Substituindo a equação da diretriz, fica:
Passamos o cosseno para o outro lado:
E como já sabemos pelas relações entre coordenadas cartesianas e polares:
Então:
Passo 4
Pronto, agora basta olharmos a equação da diretriz e dizermos como é a equação geral da cônica, já que a diretriz é constante em com valor negativo, precisamos colocar no denominador da equação geral:
Passo 5
E como a excentricidade já foi dada e já calculamos que é o valor da diretriz, basta substituirmos tudo: