Enunciado

Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.

Focos em ( 2 ,   3 ) e ( 2 ,   7 ) e o comprimento do semi-eixo menor é dois terços do comprimento do semi-eixo maior.

Passo 1

Primeiramente vamos achar o centro da Elipse, para isso basta entendermos que os dois focos estão alinhados com o centro, que por sua vez está no meio dos dois pontos e é equidistante aos focos. Assim podemos calcular o ponto C (centro) como o ponto médio entre o segmento dos dois focos.

x c = 2 + 2 2 ,     y c = 3 + 7 2

x c = 4 2 ,     y c = 10 2

x c = 2 ,     y c = 5

C   ( 2 ,   5 )

Passo 2

Agora vamos procurar a metade da distância focal c , para isso podemos fazer de duas maneiras. Calculando a distância entre os focos e dividir por 2 ou calcular a distância entre o centro e um dos focos. Abaixo segue o cálculo pelo segundo método.

c 2 = 2 - 2 2 + 7 - 5 2

c 2 = 0 2 + 2 2

c = 2

Passo 3

Pelo enunciado temos b = 2 a 3 e conseguimos no passo anterior c = 2 , agora podemos aplicarmos a Relação Pitagórica para encontrar   a e b .

a 2 = b 2 + c 2

a 2 = 2 a 3 2 + 2 2

a 2 - 4 a 2 9 = 4

5 a 2 9 = 4

a 2 = 4 ∙ 9 5

a = 2 ∙ 3 5

a = 6 5 5

b = 2 3 ∙ 6 5 5

b = 4 5 5

Passo 4

Agora vamos organizar a fórmula desta elipse, como o eixo principal da elipse é paralelo ao eixo   y , então   a deverá estar abaixo das coordenadas de   y .

x - 2 2 4 5 5 2 + y - 5 2 6 5 5 2 = 1

x - 2 2 16 5 + y - 5 2 36 5 = 1

5 x - 2 2 16 + 5 y - 5 2 36 = 1

x - 2 2 16 + y - 5 2 36 = 1 5

Resposta

x - 2 2 16 + y - 5 2 36 = 1 5

Segue a representação gráfica desta elipse

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