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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 16

Ache o centro, vértices, focos, extremidade do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos.

2 x 2 + 3 y 2 - 4 x + 12 y + 2 = 0

Passo 1

A questão pede para encontrar as principais características da elipse 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x + 12 y + 2 = 0   . Note que agora temos termos de primeiro grau na equação. Desta forma, o vértice não estará na origem!

Precisamos completar quadrados. Para os termos com x :

2 x 2 - 4 x = 2 x 2 - 2 x = 2 x 2 - 2 x + 1 - 1 = 2 x - 1 2 - 2

Fazendo o mesmo com y :

3 y 2 + 12 y = 3 y 2 + 4 y = 3 y 2 + 4 y + 4 - 4 = 3 y + 2 2 - 12

Assim, a equação da elipse ficará

2 x - 1 2 - 2 + 3 y + 2 2 - 12 + 2 = 0

Portanto,

2 x - 1 2 + 3 y + 2 2 = 1 2

Dividindo a equação por 1 2 :

x - 1 2 6 + y + 2 2 4 = 1

Desta forma, vemos que o centro da elipse é

( 1 ,   - 2 )

Além disso, como 6 > 2 , o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo x , com

a = 6           e             b = 4 = 2

Para achar os vértices, basta somar e subtrair a na coordenada x do centro:

1 - 6 ,   - 2             e             1 + 6 ,   - 2

Já para as extremidades do eixo menor, somamos e subtraímos b na coordenada y :

1 ,   - 4         e         1 , 0

Passo 2

Para acharmos os focos, temos que

a 2 = b 2 + c 2

Assim,

6 = 4 + c 2 ⇒ c 2 = 2 ⇒ c = 2

Para termos os focos, basta somar e subtrair c na coordenada x do centro:

1 - 2 ,   - 2         e         1 + 2 ,   - 2

Passo 3

Um esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

Centro: ( 1 ,   - 2 )

Vértices: 1 - 6 ,   - 2             e             1 + 6 ,   - 2

Extremidades do eixo menor: 1 ,   - 4         e         1 , 0

Focos: 1 - 2 ,   - 2         e         1 + 2 ,   - 2

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