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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 14

Ache o centro, vértices, focos, extremidade do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos.

3 x 2 + 4 y 2 - 30 x + 16 y + 100 = 0

Passo 1

A questão pede para encontrar as principais características da elipse 3 x 2 + 4 y 2 - 30 x + 16 y + 100 = 0   . Note que agora temos termos de primeiro grau na equação. Desta forma, o vértice não estará na origem!

Precisamos completar quadrados. Para os termos com x :

3 x 2 - 30 x = 3 x 2 - 10 x = 3 x 2 - 10 x + 25 - 25 = 3 x - 5 2 - 75

Para os termos com y :

4 y 2 + 16 y = 4 y 2 + 4 y = 4 y 2 + 4 y + 4 - 4 = 4 y + 2 2 - 16

Assim, a equação da elipse ficará

3 x - 5 2 - 75 + 4 y + 2 2 - 16 + 100 = 0

Portanto,

3 x - 5 2 + 4 y + 2 2 = 9

Dividindo a equação por 9 :

x - 5 2 3 + y + 2 2 9 4 = 1 ⇒ x - 5 2 3 2 + y + 2 2 3 2 2 = 1

Desta forma, vemos que o centro da elipse é

( 5 ,   - 2 )

Além disso, como 3 > 9 4 , o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo x , com

a = 3           e             b = 3 2

Para achar os vértices, basta somar e subtrair 3 na coordenada x do centro:

5 - 3 ,   - 2             e             5 + 3 ,   - 2

Já para as extremidades do eixo menor, somamos e subtraímos 3 2 na coordenada y :

5 ,   - 7 2         e         5 ,   - 1 2

Passo 2

Para acharmos os focos, temos que

a 2 = b 2 + c 2

Assim,

3 = 9 4 + c 2 ⇒ c 2 = 3 - 9 4 = 3 4 ⇒ c = 3 2

Para termos os focos, basta somar e subtrair 3 / 2 na coordenada x do centro:

5 - 3 2 ,   - 2         e         5 + 3 2 ,   - 2

Passo 3

Um esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

Centro: ( 5 ,   - 2 )

Vértices: 5 - 3 ,   - 2             e             5 + 3 ,   - 2

Extremidades do eixo menor: 5 ,   - 7 2         e         5 ,   - 1 2

Focos: 5 - 3 2 ,   - 2         e         5 + 3 2 ,   - 2

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