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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 20

Ache a equação da hipérbole satisfazendo as condições dadas e faça um esboço do gráfico.

Extremidade do eixo conjugado em ( 0 ,   - 3 ) e 0 ,   3 e um foco em 5 ,   0 .

Passo 1

Primeiramente vamos achar o centro da hipérbole, para isso basta entendermos que os extremos do eixo conjugado estão alinhados com o centro, que por sua vez está no meio dos dois pontos e é equidistante aos extremos. Assim podemos calcular o ponto C (centro) como o ponto médio entre o segmento dos extremos.

x c = 0 + 0 2 ,     y c = - 3 + 3 2

x c = 0 2 ,     y c = 0 2

x c = 0 ,     y c = 0

C   ( 0 ,   0 )

Passo 2

Agora vamos procurar c , para isso vamos calcular a distância entre o centro e um dos focos.

c 2 = 5 - 0 2 + 0 - 0 2

c 2 = 5 2 + 0 2

c = 5

Passo 3

Agora vamos procurar b para isso vamos calcular a distância entre o centro e um dos extremos do eixo conjugado.

b 2 = 0 - 0 2 + 3 - 0 2

b 2 = 0 2 + 3 2

b = 3

Passo 4

Agora vamos aplica a Relação Pitagórica para encontrar a .

c 2 = a 2 + b 2

5 2 = a 2 + 3 2

16 = a 2

a = 4

Passo 5

Agora vamos organizar a fórmula desta hipérbole, como o eixo principal da hipérbole é paralelo ao eixo   x , então   a deverá estar abaixo das coordenadas de   x e o mesmo deverá ser positivo.

x 2 4 2 - y 2 3 2 = 1

x 2 16 - y 2 9 = 1

Resposta

x 2 16 - y 2 9 = 1

Segue a representação gráfica desta hipérbole

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