Sejam um número real, uma reta e um ponto, tais que . Prove que
- se , todo ponto tal que pertence à elipse de excentricidade que tem por foco e por diretriz associada a ele.
- Se , todo ponto tal que pertence à hipérbole de excentricidade que tem por foco e por diretriz associada a ele.
Passo 1
- Tomemos como sendo uma reta que contém e é perpendicular a . Consideremos o número
- Procedemos de maneira muito semelhante à letra (a). Comece tomando
Tal número é candidato ao “”, que é motivado pela resposta do exercício 22-120 (a).
Considere que seja o ponto que dista de e de . Veja a figura abaixo
Passo 2
Na figura, temos
Considere um ponto genérico tal que
Passo 3
Cálculo de :
Cálculo de :
Passo 4
Portanto, temos que
Elevando ao quadrado,
Note que temos uma elipse com e . Note que
Passo 4
Assim, vemos que realmente é o foco da hipérbole, com , que é exatamente o que queríamos mostrar.
Passo 5
(que será candidato a pelo exercício 22-120 (b)). Fazendo exatamente as mesmas contas, chegaremos em
de modo que
de modo que mostramos que é o foco.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)