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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 17

Ache a equação da hipérbole satisfazendo as condições dadas e faça um esboço do gráfico.

Vértices em ( - 2,0 ) e ( 2 ,   0 ) e um eixo conjugado com comprimento 6.

Passo 1

Primeiramente vamos achar o centro da hipérbole, para isso basta entendermos que os dois vértices estão alinhados com o centro, que por sua vez está no meio dos dois pontos e é equidistante aos vértices. Assim podemos calcular o ponto C (centro) como o ponto médio entre o segmento dos dois vértices.

x c = - 2 + 2 2 ,     y c = 0 + 0 2

x c = 0 2 ,     y c = 0 2

x c = 0 ,     y c = 0

C   ( 0 ,   0 )

Passo 2

Agora vamos procurar a metade do eixo transverso a , para isso podemos fazer de duas maneiras. Calculando a distância entre os vértices e dividir por 2 ou calcular a distância entre o centro e um dos vértices. Abaixo segue o cálculo pelo segundo método.

a 2 = 2 - 0 2 + 0 - 0 2

a 2 = 4 2 + 0 2

a = 2

Passo 3

O eixo conjugado se refere a   b . Assim temos

2 b = 6

b = 3

Passo 4

Agora vamos organizar a fórmula desta hipérbole, como o eixo principal da hipérbole é paralelo ao eixo   x , então   a deverá estar abaixo das coordenadas de   x e o mesmo deverá ser positivo.

x 2 2 2 - y 2 3 2 = 1

x 2 4 - y 2 9 = 1

Resposta

x 2 4 - y 2 9 = 1

Segue a representação gráfica desta hipérbole

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