Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma cerca reforçada que custa o metro enquanto os dois lados restantes recebem uma cerca padrão de o metro. Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com ?

Denominemos os lados do retângulo como e , não importando qual seja o maior e o menor. E vamos supor que a cerca pro lado seja a que custe , e a pro lado a que custe .

Considerando que temos dois lados e dois lados (pois é um retângulo), o custo total das cercas pode ser escrito assim:

Agora, temos que a área do retângulo é dada pelo produto dos lados e :

Pra facilitar nossos cálculos, isolamos na primeira equação e substituímos na segunda pra podermos escrever em função de somente um dos lados, no caso, . Temos:

Substituindo isso na equação pra , vamos ter:

Agora temos uma função que descreve a nossa área. Por nossos conhecimentos de funções, é descrita por uma parábola com concavidade voltada pra baixo. Logo, tem um ponto de máximo!

É esse ponto de máximo da área, desescrita em função de um de seus lados (lado ), que a gente precisa determinar. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar , derivar e igualar a zero! O valor de que acharmos atribuído a essa derivada nula vai ser o ponto em que a função assume o valor máximo. Em outras palavras, vamos achar o valor de , um dos lados do retângulo, que nos dá a maior área possível!

Derivando, temos:

Igualamos isso a zero:

Então, esse é o valor de , lado do retângulo, cuja cerca custa mais caro, que vai possibilitar a maior área possível.

Temos , mas ainda precisamos de . Calculamos facilmente pela primeira equação!