Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 6
Um retângulo deve ser inscrito em um triângulo retângulo com lados de comprimento 6, 8 e 10 cm. Encontre as dimensões do retângulo com a a maior área, supondo que ele está posicionado conforme a Figura Ex-6.
Passo 1
Esse é um típico exercício de otimização. O cálculo diferencial é uma ferramenta que nos ajuda muito na resolução desses casos, tão recorrentes no dia a dia.
Sempre esses exercícios precisam da sua boa interpretação de texto. No caso, queremos inserir um retângulo com a maior área possível, em uma posição específica, dentro do triângulo retângulo dado. Como fazer isso?
Passo 2
Comecemos por nomear nossas incógnitas. Vamos chamar de e os lados do retângulo da seguinte forma:
Como a gente quer a maior área possível pra esse retângulo, já escrevemos a expressão pra área dele, pois iremos usá-la! Temos pra área desse retângulo:
Aqui o problema é que está em função de duas incógnitas, mas, pra trabalhar essa função e achar seu valor máximo, precisamos escrever ela em função de uma só incógnita. Vamos fazer isso da seguinte forma:
E por que fazer isso? Porque assim, trabalhando com semelhança de triângulos, podemos estabelecer uma relação entre e .
Pela semelhança entre o menor triângulo retângulo formado em cima do cateto de comprimento 6 cm e o triângulo retângulo original, podemos escrever:
Trabalhando esses quocientes, temos:
Passo 3
Agora pegamos essa expressão pra e substituímos ela na expressão para área,escrevendo-a apenas em função dessa vez. Vamos ter:
Agora temos uma função que descreve a nossa área. Por nossos conhecimentos de funções, é descrita por uma parábola com concavidade voltada pra baixo. Logo, tem um ponto de máximo!
É esse ponto de máximo da área, desescrita em função de um de seus lados (lado ), que a gente precisa determinar. E como fazer isso?
Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.
Logo, podemos pegar , derivar e igualar a zero! O valor de que acharmos atribuído a essa derivada nula vai ser o ponto em que a função assume o valor máximo. Em outras palavras, vamos achar o valor de , um dos lados do retângulo, que nos dá a maior área possível!
Passo 4
Derivando, temos:
Igualamos isso a zero:
Então, esse é o valor de , lado do retângulo, que vai possibilitar a maior área possível.
Temos , mas ainda precisamos de . Calculamos facilmente pela primeira equação!
Resposta
São as dimensões e .