Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 30
Ache os extermos relativos das funções trigonométricas dadas usando o teste da derivada segunda.
Passo 1
Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de .
Os pontos crítos são aqueles que a derivada é ou não existe. Aqui só vamos olhar quando a derivada é .
A tangente é em:
Com nos inteiros.
Temos:
Os nossos pontos críticos são
Passo 2
Agora, vamos tentar aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos
Se ou não existir, não funciona o teste.
Temos que ver o valor de para . Nesses pontos, o seno e cosseno serão iguais. O que vai mudar eventualmente são os sinais.
Se separarmos nos números pares e ímpares, vamos ter, para par, .
Assim,
Vai ter valores de seno e cosseno positivos.
O que faz com que Assim, são pontos de Máximo relativo.
Passo 3
E para ímpar, ,
Vai ter valores de seno e cosseno negativos.
O que faz com que Assim, são os pontos de Mínimo relativo.
Resposta
Com inteiro