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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 47

37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos da função f .

47- f x = e 2 x - e x

Passo 1

Galera, vamos começar derivando a função:

f ´ x = 2   e 2 x - e x

Agora, vamos derivar novamente:

f ´ ´ x = 4   e 2 x - e x

Pronto, já temos as duas derivadas. Fácil né ?!

Passo 2

Vamos determinar os pontos críticos igualando f ´ ( x ) a zero. Assim, temos:

2   e 2 x - e x = 0

e x ( 2   e x - 1 )   = 0

e x = 0

Galera, não existe nenhum valor que satisfaça essa equação. Então só nos resta isso:

2   e x - 1 = 0

2   e x = 1

e x = 1 2

Colocando o l n dos dois lados:

l n e x = l n ⁡ ( 1 2 )

Pelas propriedades logarítmicas, nós “petelecamos “ o x   para a direita e do outro lado da igualdade nós abrimos a divisão em um subtração (propriedade logarítmica):

x = l n 1 - l n 2

x = - l n 2

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

-Para x = - l n 2 :

f ´ ´ - l n 2 = 4   e 2 × - l n 2 - e - l n 2

f ´ ´ - l n 2 = 4   e ln ⁡ 2 - 2 - e l n 2 - 1

Como nós resolvemos isso ???

Vamos usar a seguinte propriedade:

a log a ⁡ b = b

f ´ ´ - l n 2 = 4 × 2 - 2 - 2 - 1

f ´ ´ - l n 2 = 1 - 1 2 = 1

Afinal... O que isso quer dizer ???

Para x = - ln ⁡ 2 , a função tem um mínimo relativo para o seguinte valor de y:

f - l n 2 = e 2 × - l n 2 - e - l n 2

f - l n 2 = e l n 2 - 2 - e l n 2 - 1

f - l n 2 = 2 - 2 - 2 - 1

f - l n 2 = 1 4 - 1 2 = - 1 4

Ufaaa .... Acabou !

Até a próxima questão !

Resposta

( - l n 2 , 1 4 ) mínimo relativo.

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