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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 38

Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

h x = 2 x + 2 x - 1 ;                 ( 1 ,   2 ]

Passo 1

A questão pede para achar os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo considerado.

A função x é a função maior inteiro, que denota o maior inteiro menor ou igual a x . Devemos ver primeiro como a função 2 x - 1 se comporta no intervalo ( 1 ,   2 ] . Para isso, temos que quais números inteiros a função f x = 2 x - 1 assume quando x varia de 1 até 2 .

Note que f 1 = 1 e f 2 = 3 , sendo que f 3 2 = 2 . Assim, podemos separar f x em três intervalos:

f x = 1 ,     s e   1 < f x < 2 2 ,     s e   2 ≤ f x < 3 3 ,                                   s e   f x = 3

Isso é análogo a

2 x - 1 = 1 ,     s e   1 < x < 3 / 2 2 ,     s e   3 / 2 ≤ x < 2 3 ,                                             s e   x = 2

Desta forma, como h x = 2 x + 2 x - 1 , temos que

h x = 2 x + 1 ,     s e   1 < x < 3 / 2 2 x + 2 ,     s e   3 / 2 ≤ x < 2 2 x + 3 ,                                             s e   x = 2

Na última linha, como x = 2 , pode substituir e obter 2 ⋅ 2 + 3 = 7 :

h x = 2 x + 1 ,     s e   1 < x < 3 / 2 2 x + 2 ,     s e   3 / 2 ≤ x < 2 7 ,                                                                   s e   x = 2

Passo 2

A seguir damos um esboço do gráfico de h nesse intervalo:

Note que o máximo ocorre em x = 2 com h 2 = 7 . Já o mínimo não ocorre pois a bolinha é aberta em x = 1 .

Resposta

Máximo absoluto: h 2 = 7 .

Mínimo absoluto: não tem.

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