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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.Revisão - Ex. 81

Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico de r = 1 2 + s e n θ no ponto (1, 1 6 π ). Faça um esboço do gráfico com a reta tangente.

Passo 1

Primeiro, em questões que envolvem retas tangentes, sempre temos aquelas equaçõeszinhas que não podem se perderem na nossa mão!! Aí vão elas:

x = r c o s ( θ )

y = r s e n ( θ )

d x d y = s e n θ + r c o s ( θ ) cos ⁡ θ - r s e n ( θ )

Logo, para o nosso caso, temos que:

r =   1 2 + s e n θ  

Portanto:

x = ( 1 2 + s e n θ   ) c o s ( θ )

y = ( 1 2 + s e n θ   ) s e n ( θ )

d x d y = s e n θ + ( 1 2 + s e n θ   ) c o s ( θ ) cos ⁡ θ - ( 1 2 + s e n θ   ) s e n ( θ )

Passo 2

Agora vamos resumir a nossa equação para então encontrarmos os pontos em que nossa retas são tangentes.

d x d y = s e n θ + 1 2 c o s ( θ ) - s e n θ c o s ( θ ) cos ⁡ θ - 1 2 s e n ( θ ) - s e n θ

Para a nossa equação, temos esse esboço:

Passo 3

Resolvendo nossa equação para um theta igual a 1 6 π , temos que:

d x d y = s e n θ + 1 2 c o s ( θ ) - s e n θ c o s ( θ ) cos ⁡ θ - 1 2 s e n ( θ ) - s e n θ

d x d y = 3 2 2 + 2

Resposta

d x d y = 3 2 2 + 2

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