Enunciado

Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico de r = 6 c o s θ - 2 no ponto (1, 5 3 π ). Faça um esboço do gráfico com a reta tangente.

Passo 1

Primeiro, em questões que envolvem retas tangentes, sempre temos aquelas equaçõeszinhas que não podem se perderem na nossa mão!! Aí vão elas:

x = r c o s ( θ )

y = r s e n ( θ )

d x d y = s e n θ + r c o s ( θ ) cos ⁡ θ - r s e n ( θ )

Logo, para o nosso caso, temos que:

r =   6 c o s θ - 2    

Portanto:

x = ( 6 c o s θ - 2     ) c o s ( θ )

y = ( 6 c o s θ - 2     ) s e n ( θ )

d x d y = s e n θ + ( 6 c o s θ - 2     ) c o s ( θ ) cos ⁡ θ - ( 6 c o s θ - 2     ) s e n ( θ )

Passo 2

Agora vamos resumir a nossa equação para então encontrarmos os pontos em que nossa retas são tangentes.

d x d y = s e n θ + 6 cos 2 ⁡ - 2 c o s ( θ ) cos ⁡ θ - 6 c o s θ s e n θ - 2 s e n θ

Para a nossa equação, temos esse esboço:

Passo 3

Resolvendo nossa equação para um theta igual a 1 6 π , temos que:

d x d y = s e n θ + 6 cos 2 ⁡ - 2 c o s ( θ ) cos ⁡ θ - 6 c o s θ s e n θ - 2 s e n θ

d x d y = 2 3 3

Resposta

d x d y = 2 3 3

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