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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.Revisão - Ex. 79

Determine os pontos aos quais a curva r = 3 - 3 s e n ( θ ) tem retas tangentes horizontal e vertical. Faça um esboço gráfico com essas retas tangentes.

Passo 1

Primeiro, em questões que envolvem retas tangentes, sempre temos aquelas equaçõeszinhas que não podem se perderem na nossa mão!! Aí vão elas:

x = r c o s ( θ )

y = r s e n ( θ )

d x d y = s e n θ + r c o s ( θ ) cos ⁡ θ - r s e n ( θ )

Logo, para o nosso caso, temos que:

r = 3 - 3 s e n ( θ )

Portanto:

x = ( 3 - 3 s e n θ ) c o s ( θ )

y = ( 3 - 3 s e n θ ) s e n ( θ )

d x d y = s e n θ + ( 3 - 3 s e n θ ) c o s ( θ ) cos ⁡ θ - ( 3 - 3 s e n θ ) s e n ( θ )

Passo 2

Agora vamos resumir a nossa equação para então encontrarmos os pontos em que nossa retas são tangentes.

d x d y = s e n θ + 3 c o s ( θ ) - 3 s e n θ c o s ( θ ) cos ⁡ θ - 3 s e n ( θ ) - 3 s e n 2 θ

Para a nossa equação, temos esse esboço:

Sim, a nossa equação é um cardioide! Portanto fica fácil a gente saber os pontos. Primeiro que um ponto está descaradamente fácil de achar, que é o -6. Logo, a primeira retá tangente está no -6. A segunda reta tangente, podemos achar para as pontinhas do nosso cardioide, que é quanto o nosso θ for igual a π .

Logo,

d x d y = s e n π + 3 c o s ( π ) - 3 s e n π c o s ( π ) cos ⁡ π - 3 s e n ( π ) - 3 s e n 2 π

d x d y = 1 - 3 - 3

d x d y = 1 - 6

Passo 3

Sabendo disso, temos que as nossas retas se encontram em x=-6 e x= π 4

Resposta

d x d y = 1 - 6

Retas:

X=-6

X= π 4

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