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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 15

Calcule o limite, se ele existir.

underset(x -> 0)(lim) (2^x - 3^x)/(x)

Passo 1

Pra resolver esse limite, nós vamos precisar usar L’Hôpital.

underset(x -> 0)(lim) (2^x - 3^x)/(x) = underset(x -> 0)(lim) (2^x ln 2 - 3^x ln 3)/(1)

Passo 2

Quando x -> 0 , nosso limite vira uma subtração de logaritmos:

underset(x -> 0)(lim) (2^x ln 2 - 3^x ln 3) = ln 2 - ln 3

Passo 3

Só pro resultado ficar mais bonitinho (e pra gente mostrar que sabe o que tá fazendo), a gente aplica aqui uma propriedade de logaritmos, pra transformar aquela subtração de logs no log de um expoente:

underset(x -> 0)(lim) (2^x - 3^x)/(x) = ln (2)/(3) .

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (2^x - 3^x)/(x) = ln (2)/(3) .

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